Алексей Алексеевич Буров родился 18 ноября 1971 года в городе Певек Чаунского района Магаданской области.

Трудовой путь начал в 1990 году, работая до 1998 года учеником слесаря, водителем, механиком торгового порта Певек.  В период с 1991 по 1993 годы служил в рядах Вооруженных сил Российской Федерации. С 1998 по 2000 год работал юрисконстультом на предприятии жилищно-коммунального хозяйства.

В налоговых органах - с 2000 года; работал в должности ведущего специалиста-юрисконсульта в секторе персонала и правовой работы инспекции МНС России по Чаунскому району. В 2004 назначен на должность начальника юридического отдела Межрайонной Инспекции МНС № 3 по Чаунскому району Чукотского автономного округа.

В 2005 году закончил Московский новый юридический институт.

В 2007 году в связи с назначением начальником Правового отдела Управления ФНС России по Чукотскому автономному округу переехал на постоянное место жительства в г. Анадырь.

Советник государственной гражданской службы Российской Федерации 1 класса.

С декабря 2015 года по июнь 2026 замещал должность заместителя руководителя УФНС России по Чукотскому автономному округу.

С 3 июня 2026 года временно исполняет обязанности руководителя УФНС России по Чукотскому автономному округу.

За безупречную и эффективную службу, высокий профессионализм награждался благодарностью Думы Чукотского автономного округа, почетной грамотой Правительства Чукотки, грамотой и медалью «За заслуги» II степени Федеральной налоговой службы.

Женат. Отец троих детей. Сторонник здорового образа жизни и активного отдыха (коньки, лыжи, баня).